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如何证明 √2 是无理数 — 两种方法（反证法与几何无限下降）

“√2 是无理数”这一说法的意思是不存在整数 [math]a[/math] 和 [math]b\neq 0[/math] 且 [math]\gcd(a,b)=1[/math]，使得 [math]\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}[/math]。

方法一 — 反证法

假设相反，认为 [math]\sqrt{2}[/math] 是有理数。则存在整数 [math]a[/math] 和 [math]b[/math]，满足 [math]b\neq 0[/math] 且 [math]\gcd(a,b)=1[/math]，使得 [math]\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}.[/math] 两边平方得： [math]2=\dfrac{a^2}{b^2}\quad\Rightarrow\quad a^2 = 2b^2.[/math] 由 [math]a^2 = 2b^2[/math] 可知 [math]a^2[/math] 为偶数，因此 [math]a[/math] 必为偶数。设 [math]a=2k[/math]，其中 [math]k[/math] 为某整数。 代回去： [math] ^2 = 2b^2 \quad\Rightarrow\quad 4k^2 = 2b^2 \quad\Rightarrow\quad b^2 = 2k^2.[/math] 因此 [math]b^2[/math] 为偶数，故 [math]b[/math] 亦为偶数。 于是 [math]a[/math] 和 [math]b[/math] 都为偶数，这与我们假设的 [math]\gcd(a,b)=1[/math] 矛盾（它们至少有公因子 2）。该矛盾说明原假设错误；因此 [math]\sqrt{2}[/math] 为无理数。

方法二 — 几何无限下降（等腰直角三角形中线构造）

[caption id="attachment_70110" align="alignnone" width="575"] 等腰直角三角形边向斜边作垂线证明根号2不是有理数[/caption] 设一个等腰直角三角形 [math]\triangle ABC[/math]，其中直角在 [math]C[/math]，两条直角边 [math]AC=BC=b[/math]，斜边 [math]AB=a[/math]，因此有 [math]a^2=b^2+b^2=2b^2[/math]。 取 [math]BC[/math] 的中点 [math]E[/math]，从 [math]E[/math] 向斜边 [math]AB[/math] 作垂线，垂足为 [math]D[/math]。 则 [math]\triangle BDE[/math] 也是一个等腰直角三角形，并且与原三角形 [math]\triangle ABC[/math] 相似。记小三角形的斜边和直角边分别为 [math]a'=BE[/math] 与 [math]b'=BD[/math]。 有 [math]a'^2=2b'^2[/math]，从而验证了 [math]\triangle BDE\sim\triangle ABC[/math]。 关键点在于相似（固定比例缩放），小三角形的尺寸是原三角形的一定比例。 从 [math]BC[/math] 取中点 [math]E[/math]，向斜边 [math]AB[/math] 作垂线，交于 [math]D[/math]。 于是 [math]\triangle BDE[/math] 与 [math]\triangle ACB[/math] 相似。我们可以通过“重复减法”来表达边长关系： 因为 [math]\triangle ACE = \triangle ADE[/math]，所以 [math]AC = AD[/math]，因此 [math]AB - AC = AB - AD = BD[/math]。 进一步有 [math]AC - BD = BC - BD = BC - DE = BC - CE = BE[/math]。 因此 [math]AB - AC [/math] 辗转相减 [math] BE - BD[/math]，即 [math]a - b \quad\Rightarrow\quad a' - b'[/math]，其中 [math]a' = BE[/math]，[math]b' = BD[/math]。 由于 [math]\triangle BED \sim \triangle ABC[/math]，我们可以无限次重复这一构造过程。 每次重复相同的操作（取直角边的中点并作垂线到斜边），都会得到一个与原三角形相似的新等腰直角三角形，其边长都按某个固定比例 [math]r[/math] 缩小。 因此，斜边和直角边都会在每一步以几何级数的方式缩小。 这在整数情况下导致“无限下降”矛盾：

• 如果假设存在整数边长满足 [math]a^2=2b^2[/math]，则这种几何构造（或等价的、保持整数关系的中点构造）会产生一个更小的正整数解。
• 无限重复下去会得到一个严格递减的正整数序列，这显然不可能。

因此，不存在这样的整数解，即 [math]\sqrt{2}[/math] 是无理数。 两种方法均证明了 [math]\sqrt{2}[/math] 不能写成两个整数之比。

• 方法一（反证法）利用奇偶性，说明若假设分数为最简形式则会导致分子和分母都为偶数，从而矛盾。
• 方法二（几何无限下降）通过在等腰直角三角形中作中线并利用相似性得到更小的整数解，从而与最小性矛盾。

任一方法都给出清晰而严谨的证明，表明 [math]\sqrt{2}[/math] 是无理数。 [show_file file="/var/www/wp-post-common/justyy.com/math.php"] 英文：Teaching Kids Programming - Two Ways to Prove Square Root of Two is Irrational (proof by contradiction and geometric infinite descent)