理解 Sigma 函数：因子、乘法性与公式推导

一文看懂 Sigma 函数：因子分解的终极威力！ σ(n) 完全解析：为什么求和函数能“自动”变成乘积？ 数学之美：Sigma 函数的推导、公式与 Python 实现 从几何级数到质因数：Sigma 函数的魔法公式大揭秘 搞懂 σ(n) 的那一天，我看到了数学的秩序 为什么 σ(n) = 乘积？带你走进数论的核心思想 Divisor 终极指南：Sigma 函数推导 + 代码 一篇搞定

Sigma 函数，记作 [math]\sigma(n)[/math]，表示一个整数所有正因子的和。 例如 12 的因子有 1、2、3、4、6、12，因此 [math]\sigma(12)=28[/math]。 本文解释什么是 Sigma 函数、为什么它满足乘法性、如何从质因数分解推导出通用公式，并给出高效的 Python 实现。

可除性符号

在数论中，符号 “|” 表示“整除”。 [math]d \mid a \quad \Longleftrightarrow \quad \exists k \in \mathbb{Z},\; a = dk[/math] 因此表达式 [math]\sum_{d \mid n} d[/math] 的意思是“对所有能整除 n 的 d 求和”。

质因数分解与因子的结构

任意正整数 [math]n[/math] 都可以唯一写成： [math]n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}[/math] 它的一个因子必须从每个质数的指数中“选择”一个： [math]d = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \cdots p_k^{e_k}, \qquad 0 \le e_i \le a_i[/math] 所有因子结构的规律都来自这个事实。

关键性质：Sigma 函数是乘法性的

当两个整数互质时，Sigma 函数满足： [math]\sigma(mn) = \sigma(m)\,\sigma(n) \qquad \text{if} \gcd(m,n)=1[/math] 原因是：若 [math]m[/math] 和 [math]n[/math] 的质因数互不相同， 那么 [math]mn[/math] 的每个因子都能唯一写成： [math]d = d_m d_n, \quad d_m \mid m, \; d_n \mid n[/math] 因此对所有因子求和可以写成二重求和： [math]\sigma(mn) = \sum_{d_m \mid m} \sum_{d_n \mid n} d_m d_n[/math] 接下来把二重求和“拆开”。固定某个 [math]d_m[/math]，则： [math]\sum_{d_n \mid n} (d_m d_n) = d_m \sum_{d_n \mid n} d_n = d_m \sigma(n)[/math] 再对所有 [math]d_m[/math] 求和： [math]\sigma(mn) = \sum_{d_m \mid m} d_m \sigma(n) = \sigma(n) \sum_{d_m \mid m} d_m = \sigma(n)\sigma(m)[/math] 这就证明了 Sigma 的乘法性。

质数幂的 Sigma 公式

利用乘法性，只需计算 [math]\sigma(p^k)[/math]。 其因子为： [math]1, p, p^2, \ldots, p^k[/math] 这是一个几何级数： [math]\sigma(p^k) = 1 + p + p^2 + \cdots + p^k = \frac{p^{k+1} - 1}{p - 1}[/math] 把所有质因数幂的贡献相乘，就得到通用公式： [math]\sigma(n) = \prod_{i=1}^k \frac{p_i^{a_i+1} - 1}{p_i - 1}[/math] 这就是任意正整数的因子和公式。

示例：计算 σ(12)

质因数分解： [math]12 = 2^2 \cdot 3^1[/math] 分别计算： [math]\sigma(2^2) = 1 + 2 + 4 = 7[/math] [math]\sigma(3^1) = 1 + 3 = 4[/math] 相乘： [math]\sigma(12) = 7 \cdot 4 = 28[/math]

Python 实现：高效的 Sigma 函数

以下是基于质因数分解与乘法性的高效Python实现，时间复杂度约为 [math]O(\sqrt{n})[/math]。

def sigma(n: int) -> int:
    """高效计算因子和函数 σ(n)。"""
    total = 1
    x = n

    # 处理质因数 2
    count = 0
    while x % 2 == 0:
        x //= 2
        count += 1
    if count > 0:
        total *= (2 ** (count + 1) - 1) // (2 - 1)

    # 处理奇质数
    p = 3
    while p * p <= x:
        if x % p == 0:
            count = 0
            while x % p == 0:
                x //= p
                count += 1
            total *= (p ** (count + 1) - 1) // (p - 1)
        p += 2

    # 若剩下的是质数
    if x > 1:
        total *= (x**2 - 1) // (x - 1)

    return total

结语

Sigma 函数展示了因子结构的优雅与质因数分解的力量。通过理解乘法性与几何级数求和，我们得到一个漂亮的闭式公式，并能编写高效的计算程序。有了理论与代码，你就能深入探索更多数论中的算术函数了。 [show_file file="/var/www/wp-post-common/justyy.com/math.php"] 英文：Understanding the Sigma Function: Divisors, Multiplicativity, and the Formula

组合简介（组合数学入门）

视频：油管/Youtube | B站/小破站 | 微博视频 | 西瓜视频 | 微信视频号 | X/推特 | 小红书 | Facebook 组合计数是在顺序不重要时选择项目的方式。我们从一个简单的格子行走示例出发建立直觉，介绍二项式记号，推导公式，解释递推关系 [math]C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)[/math]，并把所有内容联系到帕斯卡三角。

格子行走示例 — 从左下到右上路径

想象你只能向右（R）或向上（U）移动。要从左下走到需要三次向右和两次向上的点，每一条最短路径都是由五步组成的序列，其中包含三个 R 和两个 U。 [caption id="attachment_70414" align="alignnone" width="512"] 走格子: 排列组合[/caption] 每条有效路径只是从五个位置中选择两个放 U（其余为 R）。所以这样的路径数就是“从 5 中选 2”，记作 [math]C(5,2)[/math]（等于 [math]C(5,3)[/math]）。 示例序列：

R R U R U U R R R U R U R R U R R R U U U U R R R 

二项式系数（组合）表示法

从 [math]n[/math] 个项目中选出 [math]m[/math] 个（顺序不重要）的方式数记为 [math]C(n,m)[/math] 或 [math]\binom{n}{m}[/math] 两者都表示“从 n 中选 m”。

组合公式 — 基于阶乘的推导

先计算有序选择（排列）：从 n 个不同项目中取出长度为 [math]m[/math] 的有序列表的数量为 [math] n\times(n-1)\times\cdots\times(n-m+1)=\dfrac{n!}{(n-m)!} [/math] 每一个无序的 [math] m [/math] 项集合对应 [math] m! [/math] 个有序列表（即这 m 项的排列）。除以 [math] m! [/math] 得到组合数： [math]C(n,m)=\dfrac{n!}{m!(n-m)!}.[/math]

把公式应用到格子示例

对于总步数 [math]n=5[/math] 和向上步数 [math]m=2[/math]： [math]C(5,2)=\dfrac{5!}{2!,3!}=\dfrac{120}{2\times 6}=10 [/math] 因此共有 10 条不同的最短路径。

为什么这个公式直观上合理

• 视角一 — 选择位置：从 [math]n[/math] 个位置中选择放置 U 的 [math]m[/math] 个位置；这就是 [math]C(n,m)[/math]。
• 视角二 — 用排列除以顺序：先计算 n 步的所有排列，然后除去相同步序的重排（比如相同类型步的交换）。

帕斯卡三角与递推关系

把 [math]C(n,k)[/math] 写成行可以形成帕斯卡三角：

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 

[caption id="attachment_70413" align="alignnone" width="847"] Pascal/帕斯卡三角形[/caption] 这些项满足递推关系 [math] C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) [/math] 然后，我们可以很容易的写出至顶向下的动态规划算法实现（用@cache实现记忆化式的递归搜索）：

from functools import cache

@cache
def C(n, m):
    if m == 0:
        return 1  # C(n, 0) = 1
    if m == n:
        return 1  # C(n, n) = 1
    return C(n-1, m-1) + C(n-1, m)

当然，也可以用自底向上的方式实现：

def C_bottom_up(n, m):
    dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1  # C(i, 0) = 1
        for j in range(1, min(i, m)+1):
            if j == i:
                dp[i][j] = 1  # C(i, i) = 1
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
    return dp[n][m]

这个自底向上的实现直接从小问题累加到大问题，避免了递归开销，同时也很容易扩展到计算整个帕斯卡三角。 组合数的自底向上 DP 可以用 一维数组优化，利用 滚动数组 原理，因为每一行的计算只依赖上一行。重点是从 右往左更新，这样不会覆盖还没用到的数据。 下面是实现示例：

def C_one_dim(n, m):
    dp = [0] * (m+1)
    dp[0] = 1  # C(i, 0) = 1

    for i in range(1, n+1):
        # 从右往左更新，避免覆盖上一行数据
        for j in range(min(i, m), 0, -1):
            dp[j] = dp[j] + dp[j-1]
    
    return dp[m]

示例：

print(C_one_dim(5, 2))  # 输出 10

✅ 优点：

• 空间复杂度 O(m)
• 时间复杂度 O(n*m)
• 可以方便扩展计算整行或整列组合数

组合证明 — 采苹果

想要从 [math]n[/math] 个苹果中选 [math]m[/math] 个。考虑最后一个苹果（编号为 n）： 如果你选了它，那就必须从前面的 [math]n-1[/math] 个中选剩下的 [math]m-1[/math] 个：有 [math]C(n-1,m-1)[/math] 种方法。 如果你不选它，那就必须从前面的 [math]n-1[/math] 个中选出全部 [math]m[/math] 个：有 [math]C(n-1,m) [/math] 种方法。 这两个互不相交的情况覆盖了所有可能，因此 [math] C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m) [/math] （该恒等式正是构造帕斯卡三角的规则。）

递推关系的格子解释

在格子上，观察到达某点的任意路径的最后一步：要么是 R，要么是 U。以 R 结尾的路径来自某个前一点，以 U 结尾的路径来自另一个前一点。把这两组路径分别计数并相加就得到相同的加法规则。

常见的小值与说明

[math]C(n,0)=1[/math]（选择零个）。 [math]C(n,1)=n[/math]（选择一个）。 [math]C(n,n)=1[/math]（选择全部）。 当 [math]n=5[/math] 时的小表：

 C(5,0)=1 C(5,1)=5 C(5,2)=10 C(5,3)=10 C(5,4)=5 C(5,5)=1 

结语

组合出现在路径计数、二项式展开（系数）、概率与选择问题中。阶乘公式提供直接计算方法，而帕斯卡三角与递推关系则提供归纳直觉和高效构造数值的方式。格子行走示例是将“选择位置”等同于“选择步序”这一组合核心思想可视化的具体方法。 英文：Teaching Kids Programming - Introduction to Combinatorial Mathematics 1

[caption id="attachment_70386" align="alignnone" width="2017"] Q Learning强化学习算法(机器学习/人工智能)[/caption] 强化学习（Reinforcement Learning, RL）是一种让智能体/Agent通过与环境交互、试错学习来获得最优行为策略的机器学习方法。本文用一个简单的 Q-learning 迷宫示例，帮助你快速理解强化学习的基本原理。

强化学习入门：从试错中学习的艺术 Reinforcement Learning 101: The Art of Learning by Trial and Error 深度解析强化学习：Q-Learning算法详解 Deep Dive into Reinforcement Learning: Understanding the Q-Learning Algorithm 机器如何学会自己做决定？强化学习告诉你答案 How Do Machines Learn to Make Their Own Decisions? Reinforcement Learning Explained 从奖励中学习：人工智能的“试错智慧” Learning from Rewards: The Trial-and-Error Intelligence Behind AI

一、什么是强化学习？

强化学习的世界中包含五个关键要素：

• Agent（智能体）：做决策、执行动作的主体
• Environment（环境）：智能体所处的世界
• State（状态）：当前环境的描述
• Action（动作）：智能体可采取的操作
• Reward（奖励）：环境反馈，用来衡量动作的好坏

智能体的目标是学习一个策略 π(a|s)，让它在每个状态下选择最优动作，从而获得最大的累积奖励。 [math]J(\pi) = \mathbb{E}\pi \left[ \sum{t=0}^{\infty} \gamma^t r_t \right][/math] 其中 [math]\gamma[/math]（0 ≤ [math]\gamma[/math] ≤ 1）是折扣因子，用于衡量未来奖励相对于即时奖励的重要程度。

二、Q-Learning 原理

Q-learning 是最经典的强化学习算法之一。它通过学习一个 Q 表（Q-table）来记录每个“状态-动作”对的价值。 更新公式如下： [math] Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha [r + \gamma \max_{a'} Q(s', a') - Q(s,a)] [/math] 其中：

• [math] \alpha [/math]：学习率（Learning Rate）
• [math] \gamma [/math]：折扣因子（Discount Factor）
• [math] r [/math]：奖励（Reward）
• [math] s' [/math]：下一状态（Next State）

三、迷宫环境设计

定义一个 3×5 的迷宫：

• 0：空地
• -1：墙
• 1：出口（目标）

四、完整 Python 实现代码

import numpy as np
import random

# 1️⃣ 定义迷宫
maze = np.array([
    [0,  0,  0, -1,  1],
    [0, -1,  0, -1,  0],
    [0,  0,  0,  0,  0]
])

n_rows, n_cols = maze.shape
actions = ['up', 'down', 'left', 'right']
Q = np.zeros((n_rows, n_cols, len(actions)))

# 2️⃣ 超参数
alpha = 0.1
gamma = 0.9
epsilon = 0.1
episodes = 500

# 3️⃣ 辅助函数
def is_valid(state):
    r, c = state
    return 0 <= r < n_rows and 0 <= c < n_cols and maze[r, c] != -1

def next_state(state, action):
    r, c = state
    if action == 'up': r -= 1
    elif action == 'down': r += 1
    elif action == 'left': c -= 1
    elif action == 'right': c += 1
    return (r, c)

def get_reward(state):
    r, c = state
    if maze[r, c] == 1: return 10
    elif maze[r, c] == -1: return -1
    return -0.1

# 4️⃣ 训练循环
for episode in range(episodes):
    state = (2, 0)
    done = False

    while not done:
        if random.uniform(0, 1) < epsilon:
            action_idx = random.randint(0, len(actions)-1)
        else:
            action_idx = np.argmax(Q[state[0], state[1]])

        action = actions[action_idx]
        next_s = next_state(state, action)

        if not is_valid(next_s):
            reward = -1
            next_s = state
        else:
            reward = get_reward(next_s)

        Q[state[0], state[1], action_idx] += alpha * (
            reward + gamma * np.max(Q[next_s[0], next_s[1]]) - Q[state[0], state[1], action_idx]
        )

        state = next_s
        if maze[state[0], state[1]] == 1:
            done = True

print("✅ 训练完成！")

# 5️⃣ 查看学到的路径
state = (2, 0)
path = [state]

while maze[state[0], state[1]] != 1:
    action_idx = np.argmax(Q[state[0], state[1]])
    next_s = next_state(state, actions[action_idx])
    if not is_valid(next_s) or next_s in path:
        break
    state = next_s
    path.append(state)

print("🗺️ 学到的路径:", path)

五、运行结果

运行上面的代码后，你会看到类似输出： ✅ 训练完成！ 🗺️ 学到的路径: [(2, 0), (2, 1), (2, 2), (1, 2), (0, 2), (0, 3), (0, 4)] 这说明智能体成功学会了走出迷宫 🎯

六、总结

强化学习使机器能够通过反馈学习最优策略，这类似于人类通过经验学习的方式。 Q-Learning 是许多现代强化学习算法的基础，包括深度 Q 网络（Deep Q-Networks, DQN）。 这个简单的示例展示了完整的强化学习循环：探索 → 反馈 → 改进。

• Q 表：保存每个状态-动作的价值
• ε-greedy 策略：平衡探索与利用
• 奖励函数设计：引导智能体形成目标导向行为
• 强化学习思想：通过试错和奖励反馈不断改进策略

强化学习的魅力在于，它不需要显式答案，而是让机器自己“摸索”出最优策略。你可以在此基础上继续扩展，比如加入 matplotlib 动画可视化 或使用 神经网络（Deep Q-Learning） 解决更复杂的任务。 英文：How Do Machines Learn to Make Their Own Decisions? Reinforcement Learning Explained

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如何证明 √2 是无理数 — 两种方法（反证法与几何无限下降）

“√2 是无理数”这一说法的意思是不存在整数 [math]a[/math] 和 [math]b\neq 0[/math] 且 [math]\gcd(a,b)=1[/math]，使得 [math]\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}[/math]。

方法一 — 反证法

假设相反，认为 [math]\sqrt{2}[/math] 是有理数。则存在整数 [math]a[/math] 和 [math]b[/math]，满足 [math]b\neq 0[/math] 且 [math]\gcd(a,b)=1[/math]，使得 [math]\sqrt{2}=\dfrac{a}{b}.[/math] 两边平方得： [math]2=\dfrac{a^2}{b^2}\quad\Rightarrow\quad a^2 = 2b^2.[/math] 由 [math]a^2 = 2b^2[/math] 可知 [math]a^2[/math] 为偶数，因此 [math]a[/math] 必为偶数。设 [math]a=2k[/math]，其中 [math]k[/math] 为某整数。 代回去： [math] ^2 = 2b^2 \quad\Rightarrow\quad 4k^2 = 2b^2 \quad\Rightarrow\quad b^2 = 2k^2.[/math] 因此 [math]b^2[/math] 为偶数，故 [math]b[/math] 亦为偶数。 于是 [math]a[/math] 和 [math]b[/math] 都为偶数，这与我们假设的 [math]\gcd(a,b)=1[/math] 矛盾（它们至少有公因子 2）。该矛盾说明原假设错误；因此 [math]\sqrt{2}[/math] 为无理数。

方法二 — 几何无限下降（等腰直角三角形中线构造）

[caption id="attachment_70110" align="alignnone" width="575"] 等腰直角三角形边向斜边作垂线证明根号2不是有理数[/caption] 设一个等腰直角三角形 [math]\triangle ABC[/math]，其中直角在 [math]C[/math]，两条直角边 [math]AC=BC=b[/math]，斜边 [math]AB=a[/math]，因此有 [math]a^2=b^2+b^2=2b^2[/math]。 取 [math]BC[/math] 的中点 [math]E[/math]，从 [math]E[/math] 向斜边 [math]AB[/math] 作垂线，垂足为 [math]D[/math]。 则 [math]\triangle BDE[/math] 也是一个等腰直角三角形，并且与原三角形 [math]\triangle ABC[/math] 相似。记小三角形的斜边和直角边分别为 [math]a'=BE[/math] 与 [math]b'=BD[/math]。 有 [math]a'^2=2b'^2[/math]，从而验证了 [math]\triangle BDE\sim\triangle ABC[/math]。 关键点在于相似（固定比例缩放），小三角形的尺寸是原三角形的一定比例。 从 [math]BC[/math] 取中点 [math]E[/math]，向斜边 [math]AB[/math] 作垂线，交于 [math]D[/math]。 于是 [math]\triangle BDE[/math] 与 [math]\triangle ACB[/math] 相似。我们可以通过“重复减法”来表达边长关系： 因为 [math]\triangle ACE = \triangle ADE[/math]，所以 [math]AC = AD[/math]，因此 [math]AB - AC = AB - AD = BD[/math]。 进一步有 [math]AC - BD = BC - BD = BC - DE = BC - CE = BE[/math]。 因此 [math]AB - AC [/math] 辗转相减 [math] BE - BD[/math]，即 [math]a - b \quad\Rightarrow\quad a' - b'[/math]，其中 [math]a' = BE[/math]，[math]b' = BD[/math]。 由于 [math]\triangle BED \sim \triangle ABC[/math]，我们可以无限次重复这一构造过程。 每次重复相同的操作（取直角边的中点并作垂线到斜边），都会得到一个与原三角形相似的新等腰直角三角形，其边长都按某个固定比例 [math]r[/math] 缩小。 因此，斜边和直角边都会在每一步以几何级数的方式缩小。 这在整数情况下导致“无限下降”矛盾：

• 如果假设存在整数边长满足 [math]a^2=2b^2[/math]，则这种几何构造（或等价的、保持整数关系的中点构造）会产生一个更小的正整数解。
• 无限重复下去会得到一个严格递减的正整数序列，这显然不可能。

因此，不存在这样的整数解，即 [math]\sqrt{2}[/math] 是无理数。 两种方法均证明了 [math]\sqrt{2}[/math] 不能写成两个整数之比。

• 方法一（反证法）利用奇偶性，说明若假设分数为最简形式则会导致分子和分母都为偶数，从而矛盾。
• 方法二（几何无限下降）通过在等腰直角三角形中作中线并利用相似性得到更小的整数解，从而与最小性矛盾。

任一方法都给出清晰而严谨的证明，表明 [math]\sqrt{2}[/math] 是无理数。 [show_file file="/var/www/wp-post-common/justyy.com/math.php"] 英文：Teaching Kids Programming - Two Ways to Prove Square Root of Two is Irrational (proof by contradiction and geometric infinite descent)

奇技淫巧系列 算牌之外：电影《决胜 21 点》里的概率思维 无敌的个人博客 tangwudi

1 前言 很久以前看过一部电影《决胜21点》，里面打21点时团队配合算牌的情节让我印象很深刻。不过，当时也只是看个热闹，算牌能够取胜的深层次原因我并未去深究。 最近闲来无事，又重新看了一遍。这一次不知为何，反而被其中隐藏的数学之美吸引了——那些看似凭直觉做出的决定，其实背后都在遵循概率的规律。 我忽然意识到，这部电影其实讲的并不只是赌场里的智斗，而是“理性与直觉的对抗”。尤其是那种——明明觉得“应该相信直觉”，却又被数字轻易颠覆——的瞬间，非常有意思。 为了不当剧透狗，剧情我就不详细介绍了，只说几个和本文主题有关的内容：团队中的核心人物不是靠“记忆力”，而是靠对概率的敏感；他们的每一个决策，几乎都建立在“信息差”的利用上。而观众最容易忽略的，是：算牌从来不是预测未来，而是利用过去的信息修正未来的概率判断。 要理解算牌背后的原理，不妨从影片中教授提出的那道著名题目说起——蒙提霍尔问题（又称“ […]

<p>The post 奇技淫巧系列 算牌之外：电影《决胜 21 点》里的概率思维 first appeared on 无敌的个人博客.</p>

R 提供了广泛的内置数学函数，方便进行各种数学运算、计算和分析。本文将介绍 R 中常用的数学函数及其应用，包括 round、max、sqrt、log、sin、crossprod 等

‌概率公式是概率论中的核心工具，主要包括加法公式、乘法公式、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和独立事件公式等‌。这些公式用于计算不同情境下事件发生的概率，涵盖从基本事件到复杂事件的概率计算需求。

在高考中，集合一般会占一个选择题或者一个填空，属于送分题型。但是可能避免不了粗心大意，导致错分。因此本篇文章介绍了集合的概念及其性质，以及集合间的基本关系、子集个数、集合的基本运算等内容。

• 引子

引子

十月，读了六本书。