理解 Sigma 函数：因子、乘法性与公式推导

一文看懂 Sigma 函数：因子分解的终极威力！ σ(n) 完全解析：为什么求和函数能“自动”变成乘积？ 数学之美：Sigma 函数的推导、公式与 Python 实现 从几何级数到质因数：Sigma 函数的魔法公式大揭秘 搞懂 σ(n) 的那一天，我看到了数学的秩序 为什么 σ(n) = 乘积？带你走进数论的核心思想 Divisor 终极指南：Sigma 函数推导 + 代码 一篇搞定

可除性符号

质因数分解与因子的结构

关键性质：Sigma 函数是乘法性的

质数幂的 Sigma 公式

示例：计算 σ(12)

Python 实现：高效的 Sigma 函数

def sigma(n: int) -> int:
    """高效计算因子和函数 σ(n)。"""
    total = 1
    x = n

    # 处理质因数 2
    count = 0
    while x % 2 == 0:
        x //= 2
        count += 1
    if count > 0:
        total *= (2 ** (count + 1) - 1) // (2 - 1)

    # 处理奇质数
    p = 3
    while p * p <= x:
        if x % p == 0:
            count = 0
            while x % p == 0:
                x //= p
                count += 1
            total *= (p ** (count + 1) - 1) // (p - 1)
        p += 2

    # 若剩下的是质数
    if x > 1:
        total *= (x**2 - 1) // (x - 1)

    return total

结语

组合简介（组合数学入门）

格子行走示例 — 从左下到右上路径

R R U R U U R R R U R U R R U R R R U U U U R R R 

二项式系数（组合）表示法

组合公式 — 基于阶乘的推导

把公式应用到格子示例

为什么这个公式直观上合理

• 视角一 — 选择位置：从 [math]n[/math] 个位置中选择放置 U 的 [math]m[/math] 个位置；这就是 [math]C(n,m)[/math]。
• 视角二 — 用排列除以顺序：先计算 n 步的所有排列，然后除去相同步序的重排（比如相同类型步的交换）。

帕斯卡三角与递推关系

 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 

from functools import cache

@cache
def C(n, m):
    if m == 0:
        return 1  # C(n, 0) = 1
    if m == n:
        return 1  # C(n, n) = 1
    return C(n-1, m-1) + C(n-1, m)

def C_bottom_up(n, m):
    dp = [[0]*(m+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 1  # C(i, 0) = 1
        for j in range(1, min(i, m)+1):
            if j == i:
                dp[i][j] = 1  # C(i, i) = 1
            else:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + dp[i-1][j]
    return dp[n][m]

def C_one_dim(n, m):
    dp = [0] * (m+1)
    dp[0] = 1  # C(i, 0) = 1

    for i in range(1, n+1):
        # 从右往左更新，避免覆盖上一行数据
        for j in range(min(i, m), 0, -1):
            dp[j] = dp[j] + dp[j-1]
    
    return dp[m]

print(C_one_dim(5, 2))  # 输出 10

• 空间复杂度 O(m)
• 时间复杂度 O(n*m)
• 可以方便扩展计算整行或整列组合数

组合证明 — 采苹果

递推关系的格子解释

常见的小值与说明

 C(5,0)=1 C(5,1)=5 C(5,2)=10 C(5,3)=10 C(5,4)=5 C(5,5)=1 

结语

[caption id="attachment_70386" align="alignnone" width="2017"] Q Learning强化学习算法(机器学习/人工智能)[/caption] 强化学习（Reinforcement Learning, RL）是一种让智能体/Agent通过与环境交互、试错学习来获得最优行为策略的机器学习方法。本文用一个简单的 Q-learning 迷宫示例，帮助你快速理解强化学习的基本原理。

强化学习入门：从试错中学习的艺术 Reinforcement Learning 101: The Art of Learning by Trial and Error 深度解析强化学习：Q-Learning算法详解 Deep Dive into Reinforcement Learning: Understanding the Q-Learning Algorithm 机器如何学会自己做决定？强化学习告诉你答案 How Do Machines Learn to Make Their Own Decisions? Reinforcement Learning Explained 从奖励中学习：人工智能的“试错智慧” Learning from Rewards: The Trial-and-Error Intelligence Behind AI

一、什么是强化学习？

• Agent（智能体）：做决策、执行动作的主体
• Environment（环境）：智能体所处的世界
• State（状态）：当前环境的描述
• Action（动作）：智能体可采取的操作
• Reward（奖励）：环境反馈，用来衡量动作的好坏

二、Q-Learning 原理

• [math] \alpha [/math]：学习率（Learning Rate）
• [math] \gamma [/math]：折扣因子（Discount Factor）
• [math] r [/math]：奖励（Reward）
• [math] s' [/math]：下一状态（Next State）

三、迷宫环境设计

• 0：空地
• -1：墙
• 1：出口（目标）

四、完整 Python 实现代码

import numpy as np
import random

# 1️⃣ 定义迷宫
maze = np.array([
    [0,  0,  0, -1,  1],
    [0, -1,  0, -1,  0],
    [0,  0,  0,  0,  0]
])

n_rows, n_cols = maze.shape
actions = ['up', 'down', 'left', 'right']
Q = np.zeros((n_rows, n_cols, len(actions)))

# 2️⃣ 超参数
alpha = 0.1
gamma = 0.9
epsilon = 0.1
episodes = 500

# 3️⃣ 辅助函数
def is_valid(state):
    r, c = state
    return 0 <= r < n_rows and 0 <= c < n_cols and maze[r, c] != -1

def next_state(state, action):
    r, c = state
    if action == 'up': r -= 1
    elif action == 'down': r += 1
    elif action == 'left': c -= 1
    elif action == 'right': c += 1
    return (r, c)

def get_reward(state):
    r, c = state
    if maze[r, c] == 1: return 10
    elif maze[r, c] == -1: return -1
    return -0.1

# 4️⃣ 训练循环
for episode in range(episodes):
    state = (2, 0)
    done = False

    while not done:
        if random.uniform(0, 1) < epsilon:
            action_idx = random.randint(0, len(actions)-1)
        else:
            action_idx = np.argmax(Q[state[0], state[1]])

        action = actions[action_idx]
        next_s = next_state(state, action)

        if not is_valid(next_s):
            reward = -1
            next_s = state
        else:
            reward = get_reward(next_s)

        Q[state[0], state[1], action_idx] += alpha * (
            reward + gamma * np.max(Q[next_s[0], next_s[1]]) - Q[state[0], state[1], action_idx]
        )

        state = next_s
        if maze[state[0], state[1]] == 1:
            done = True

print("✅ 训练完成！")

# 5️⃣ 查看学到的路径
state = (2, 0)
path = [state]

while maze[state[0], state[1]] != 1:
    action_idx = np.argmax(Q[state[0], state[1]])
    next_s = next_state(state, actions[action_idx])
    if not is_valid(next_s) or next_s in path:
        break
    state = next_s
    path.append(state)

print("🗺️ 学到的路径:", path)

五、运行结果

六、总结

• Q 表：保存每个状态-动作的价值
• ε-greedy 策略：平衡探索与利用
• 奖励函数设计：引导智能体形成目标导向行为
• 强化学习思想：通过试错和奖励反馈不断改进策略

如何证明 √2 是无理数 — 两种方法（反证法与几何无限下降）

方法一 — 反证法

方法二 — 几何无限下降（等腰直角三角形中线构造）

• 如果假设存在整数边长满足 [math]a^2=2b^2[/math]，则这种几何构造（或等价的、保持整数关系的中点构造）会产生一个更小的正整数解。
• 无限重复下去会得到一个严格递减的正整数序列，这显然不可能。

• 方法一（反证法）利用奇偶性，说明若假设分数为最简形式则会导致分子和分母都为偶数，从而矛盾。
• 方法二（几何无限下降）通过在等腰直角三角形中作中线并利用相似性得到更小的整数解，从而与最小性矛盾。

奇技淫巧系列 算牌之外：电影《决胜 21 点》里的概率思维 无敌的个人博客 tangwudi

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